limites de matematicas: 2009

sábado, 7 de noviembre de 2009

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del calculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del calculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de limite, el cual separa las matemáticas previas, como el álgebra, la trigonometría o la geometría analítica, del calculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del calculo infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de $f$ , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto $x$ . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el limite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

definicion de una derivada

la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje $x\,$ de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

definicion de la pendiente

La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra $m$ , y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en calculo para representar un cambio o diferencia).

Dados dos puntos $(x 1, y 1)$ y $(x 2, y 2)$ , la diferencia en X es $x 2 - x 1$ , mientras que el cambio en Y se calcula como $y 2 - y 1$ . Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

PENDIENTE es la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal(la tangente del valor de la "m" es el ángulo en radianes). puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimetrico de carreteras, canales,y otros elementos constructivos.

lunes, 28 de septiembre de 2009

lunes, 17 de agosto de 2009

funciones racionales

ejercicios de limites

indeterminaciones de limites

Indeterminaciones

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

$\infty - \infty, \; \frac{\infty}{\infty}, \; \infty \cdot 0 , \; \frac{0}{0}, \; \infty ^0, \; 1^\infty,0^0 \,$

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser desigualdades o la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo $\textstyle \frac{0}{0}$ es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty$

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0} 1 =1$

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0} {t} = 0$

propiedades de los limites

Propiedades de los límites

Generales

Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.

$\lim_{x \to a} x = \, a \,$

Límite por un escalar.

$\lim_{x \to a} kf(x) =\, k\lim_{x \to a} f(x)\,$ donde k es un multiplicador escalar.

Límite de una suma.

$\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\,$

Límite de una resta.

$\lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\,$

Límite de una multiplicación.

$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\,$

Límite de una división.

$\underset {x \to a} {\lim} \; \frac {f(x)}{g(x)} = \frac {\underset {x \to a} {\lim} \; f(x)} {\underset {x \to a} {\lim} \; g(x)} \quad \mathrm{si}\ g(x) \ne 0$

limite de una funcion

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.